Κάπου το γράφει πόσο κοστίζει στον μέσο αμερικάνο

Νά το:

the average American taxpayer with 10,000 dollars income per year is paying about 30 tax dollars for space.

καμια σχεση ομως.. 50 δολλαρια κοστιζει στον αμερικανο ολοκληρος ο στρατος οχι η Nasa που αν θυμαμαι καλα ειναι το 32% του αμερικανικου budget η nasa ειναι καπου στα 0.50 με 0.70% εδω και χρονια

http://en.wikipedia.org/wiki/Budget_of_NASA

για να καταλαβεις ποσο λιγα λεφτα περνουν και τι εχουν καταφερει απλα κοιτα εδω (για το 2014)
Defense (including State, Homeland Security and Veterans Affairs) - $756.4 billion.
Health and Human Services - $73.7 billion.
Education - $68.6 billion.
Housing and Urban Development - $32.6 billion.
Agriculture - $21.5 billion.

προφανως για καποιο λογο η εξερευνηση του διαστηματος ειναι αχρηστη στην κοινωνια μας

Τα 30 δολλάρια που λέει στην επιστολή ήταν το 1970 που το διαστημικό πρόγραμμα δούλευε φούλ. Τώρα έχει κοπεί πάρα πολύ το budget.

Επίσης, αν το προσέξετε λέει 30 δολλάρια ΑΝΑ 10.000 εισοδήματος!

Αν και ο στρατός είναι η μεγάλη μπίζνα, μην υποτιμάτε τον πυ της νάσας. Είναι τεράστιος για το έργο που φαίνεται ότι προσφέρει δοθέντος ότι είναι παραπλήσιος με αυτόν της γεωργίας που τρέφει κοσμάκη και κοσμάκη.

ξερεις πια ειναι η πλακα ολοι εχουν φαγωθει με την nasa οχι ας πουμε με το V.A(το veterans affair Που λεει) που εχει ενα net value κοντα στα 87δις! και φετος ζητησε 150+ δις μιλαμε για τραγικα πραγματα(το οτι οι αποστρατοι εχουν πιο πολλα νοσοκομεια απο οτι οι απλοι πολιτες ειναι εντελως μα εντελως ανηθικο+οτι στο εξωτερικο τα εξοδα τα πληρωνει το κρατος και ο πολιτης απο την τσεπη του..)

βεβαια απορω γιατι ντε και καλα πρεπει να κοψεις απο την επιστημη και οχι απο τον στρατο? η διαφορα μεταξυ στρατου και υγειας ειναι χαοδης απλα φαντασου να εδιναν τα μισα για την υγεια τι θα βλεπαμε..

Γιατί ο στρατός είναι περισσότερο απαραίτητος για τη διατήρηση του imperium από τον απλό κοσμάκη.

Ο χρήστης dstou έγραψε:
Γιατί ο στρατός είναι περισσότερο απαραίτητος για τη διατήρηση του imperium από τον απλό κοσμάκη.

ε καλα αμα ηθελα να τελειωσω τον αντιλογο αυτο θα ελεγα προφανως και το αφησα απ εξω

Youtube Video – [01:59..]

The problem, as the authors see it, is that the big bang hypothesis has our relatively comprehensible, uniform, and predictable universe arising from the physics-destroying insanity of a singularity. It seems unlikely.

So perhaps something else happened. Perhaps our universe was never singular in the first place.

Their suggestion: our known universe could be the three-dimensional 'wrapping' around a four-dimensional black hole's event horizon. In this scenario, our universe burst into being when a star in a four-dimensional universe collapsed into a black hole.

http://www.sciencedaily.com/releases/2014/08/140807145618.htm

hances of Eruption Increasing at Iceland Volcano

http://news.discovery.com/earth/weather ... eryChannel

The Feynman Lectures on Physics

Caltech and The Feynman Lectures Website are pleased to present this online edition of The Feynman Lectures on Physics. Now, anyone with internet access and a web browser can enjoy reading a high quality up-to-date copy of Feynman's legendary lectures.

However, we want to be clear that this edition is** only free to read online**, and this posting does not transfer any right to download all or any portion of The Feynman Lectures on Physics for any purpose.

This edition has been** designed for ease of reading on devices of any size or shape**; text, figures and equations can all be zoomed without degradation.

(The Feynman Lectures on Physics)

100 χρόνια Γενική Θεωρία Σχετικότητας

Πριν ακριβώς 100 χρόνια, τον Νοέμβριο 1915 στην Πρωσική Ακαδημία Επιστημών στο Βερολίνο ο Albert Einstein παρουσίασε για πρώτη φορά δημόσια σε κοινό την Γενική Θεωρία Σχετικότητας (ΓΘΣ). Είναι μια κλασική θεωρία για την βαρύτητα και στηρίζεται σε δύο αρχές:

1. Στην αρχή της ισοδυναμιας (που λέγει ότι η αδρανειακή και η βαρυτική μάζα ταυτίζονται, ισοδύναμα δεν μπορούμε να διακρίνουμε εάν ένα σώμα επιταχύνει η βρίσκεται σε πεδίο βαρύτητας).

2. Στην αρχή του συναλλοιωτου που σημαίνει ότι η θεωρία έχει ως ομάδα συμμετρίας τους τοπικούς διαφορομορφισμούς του χωρόχρονου (αυτό υπαγορεύει την χρήση τανυστών από μαθηματικής πλευράς).

Οι περίφημες εξισώσεις του Αϊνστάιν για το πεδίο βαρύτητας είναι οι εξής (η πιο απλή μορφή):

Gμν = (8πG/c^4) Tμν

Η παραπάνω γραφή χρησιμοποπιεί τον φορμαλισμό της λεγόμενης τανυστικής άλγεβρας και είναι εξαιρετικά συμπυκνωμένη, αν αναλύσουμε σε συνιστώσες θα πάρουμε ένα σύστημα από 16 μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων που είναι εξαιρετικά δύσκολο να επιλυθούν. Μέχρι σήμερα είναι γνωστές μόνο λίγες λύσεις και αυτές με πολύ απλουστευτικές παραδοχές (συμμετρίες).

Οι εξισώσεις αυτές δηλώνουν ότι η βαρύτητα ερμηνεύεται ως καμπύλωση του χωρόχρονου ή με άλλα λόγια η ύπαρξη μάζας (ή ισοδύναμα ενέργειας) καμπυλώνει τον χωρόχρονο. Το αριστερό μέλος περιλαμβάνει τον λεγόμενο τανυστή Αϊνστάιν (Gμν) που εμπεριέχει γεωμετρικά δεδομένα (ουσιαστικά την καμπυλότητα) του χωρόχρονου. Το δεξί μέλος περιλαμβάνει τον λεγόμενο τανυστή ενέργειας-ορμής (Τμν) που εμπεριέχει την μάζα (ισοδύναμα την ενέργεια) που είναι παρούσα στον χωρόχρονο. Όπως υποδηλώνει το σύμβολο '=' η ύπαρξη μάζας καθορίζει την γεωμετρία (καμπυλότητα) με μια σταθερά αναλογίας (G σταθερά παγκόσμιας έλξης Νεύτωνα, c ταχύτητα φωτός).

Όταν ο Αϊνστάιν παρουσίασε την περίφημη εξίσωσή του σχεδόν κανείς δεν πίστεψε την θεωρία του. Προς τιμήν του, ο μόνος που αναγνώρισε αμέσως την μεγαλοφυή σύλληψη ήταν ο Βρετανός αστρονόμος Άρθουρ Έντιγκτον από το Κέιμπριτζ. Ο Έντιγκτον το 1919 έδωσε και την πρώτη πειραματική επιβεβαίωση της θεωρίας του Αϊνστάιν. Έκτοτε ακολούθησαν πολλές άλλες πειραματικές επιβεβαιώσεις με πιο πρόσφατη την πρόγνωση της περιόδου περιστροφής του διπλού ραδιοαστέρα (pulsar) PSR 1913 +16 από τους Hulse & Taylor (βραβείο Νομπέλ φυσικής 1993).

Τα σημαντικότερα επακόλουθα της ΓΘΣ είναι:

1. Τα περίφημα θεωρήματα χωροχρονικών ανωμαλιών των Πενρόουζ-Χώκινγκ (Penrose-Hawking spacetime singularity theorems) στην δεκαετία του 1970. Υποδηλώνουν πως το σύμπαν (συμπεριλαμβανομένων του χρόνου και του χώρου) είχε αρχή (Θεωρία μπιγκ-μπανγκ). Υποστηρίζεται και από μια σειρά πειραματικών δεδομένων. Αποτελεί την κρατούσα θεωρία στην κοσμολογία σήμερα.
2. Ύπαρξη μελανών οπών (μαύρες τρύπες) στο διάστημα.
3. Ύπαρξη βαρυτικών κυμάτων (δεν έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά αλλά όλοι θεωρούν πως υπάρχουν).

Αξίζει να σημειωθεί ότι η ΓΘΣ δεν προέκυψε από κάποια επιστημονική 'ανάγκη', δηλαδή δεν προϋπήρξαν κάποια πειραματικά δεδομένα που δεν μπορούσαν να ερμηνευθούν με τις υφιστάμενες θεωρίες (όπως έγινε με την κβαντομηχανική). Η ΓΘΣ προήλθε από την τρομερή φυσική διαίσθηση, το ταλέντο, την φαντασία και το εξαιρετικό μαθηματικό υπόβαθρο ενός και μόνο ανθρώπου...Ένας από τους βασικούς λόγους που η ΓΘΣ δεν έγινε εύκολα και άμεσα αποδεκτή από την τότε επιστημονική κοινότητα ήταν τα δαιδαλώδη και εξαιρετικά προηγμένα μαθηματικά (state of the art για την εποχή εκείνη) που χρησιμοποίησε ο Αϊνστάιν.

Την δεκαετία του 1980 και οι υπόλοιπες φυσικές αλληλεπιδράσεις (ηλεκτρομαγνητισμός, ασθενής πυρηνική και ισχυρή πυρηνική) ξαναγράφτηκαν με τον πιο προηγμένο μαθηματικό φορμαλισμό που είναι διαθέσιμος (theory of fibre bundles) ώστε να μοιάζουν με την ΓΘΣ: Τα αντίστοιχα 'υποθέματα' (ηλεκτρικό φορτίο, ασθενές φορτίο και χρώμα) προκαλούν καμπύλωση του αντίστοιχου 'εσωτερικού χώρου' (παράγωγο του χωρόχρονου, ολικός χώρος μιας πρωτεύουσας νηματικής δέσμης).

Το μεγαλύτερο πρόβλημα της φυσικής σήμερα είναι η ασυμβατότητα της φυσικής θεωρίας του μικρόκοσμου (κβαντομηχανική) με την φυσική του μεγάκοσμου (ΓΘΣ). Ισοδύναμα η 'ενοποίηση' των 3 αλληλεπιδράσεων (ηλεκτρομαγνητισμός, ασθενής πυρηνική και ισχυρή πυρηνική) που περιγράφονται με κβαντικές θεωρίες με την βαρύτητα (που περιγράφεται από την ΓΘΣ και είναι κλασική θεωρία).

Η μόνη μέχρι στιγμής επιτυχής προσπάθεια συγκερασμού της ΓΘΣ με την κβαντομηχανική είναι η λεγόμενη κβαντομηχανική των μελανών οπών του Χώκινγκ (ακτινοβολία Χώκινγκ, Hawking black hole radiation), η οποία όμως δεν έχει μεν επιβεβαιωθεί πειραματικά μέχρι σήμερα αλλά σχεδόν πάντες την αποδέχονται.

Ο Αϊνστάιν (μεταξύ άλλων) έκανε 3 βασικές επιστημονικές δουλειές όσο ζούσε: Την ερμηνεία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου το 1905 (στηρίζεται στην κβαντομηχανική, πάνω της στηρίζονται και τα φωτοβολταϊκά, για την οποία βραβεύτηκε με το βραβείο Νομπέλ Φυσικής το 1921), την Ειδική Θεωρία Σχετικότητας επίσης το 1905 και την Γενική Θεωρία Σχετικότητας το 1915. Η 'χειρότερη' αυτών ήταν η πρώτη.Ο συγκερασμός της ειδικής θεωρίας σχετικότητας με την κβαντομηχανική έγινε από τον έτερο μεγαλύτερο φυσικό του 20ου αιώνα τον Βρετανό Paul Dirac (Νομπέλ Φυσικής 1933). Ο συγκερασμός της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας με την κβαντομηχανική είναι εν πολλοίς ανοιχτό θέμα (βλέπε παραπάνω).

Η σχετικότητα και η κβαντομηχανική είναι τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της φυσικής τον 20ο αιώνα.

Το να τιμηθεί κάποιος με το βραβείο Νομπέλ (στις επιστήμες που υπάρχει βέβαια) είναι η μεγαλύτερη επιστημονική τιμητική διάκριση παγκοσμίως. Υπάρχουν όμως κάποιοι-- πολύ λίγοι-- επιστήμονες των οποίων η βράβευση με το Νόμπελ δεν προσδίδει γόητρο σε αυτούς αλλά προσδίδει γόητρο στο ίδιο το βραβείο. Ο Αϊνστάιν ήταν μάλλον ο πιο σημαντικός από αυτούς. Η βράβευσή του με το Νομπελ δεν τίμησε τον ίδιο αλλά το βραβείο. Ήταν από αυτούς τους λίγους που 'έχτισαν' την φήμη του Νομπελ τον 20ο αιώνα...Υπάρχουν 4 άνθρωποι που βραβεύτηκαν με το Νομπελ 2 φορές στη ζωή τους. O Einstein κάλλιστα θα μπορούσε 3. Κατά τη γνώμη πολλών (την οποία συμμερίζομαι και εγώ) ο Αϊνστάιν ήταν ο μεγαλύτερος επιστήμονας του 20ου αιώνα (σε όλες τις επιστήμες).

Στον Αϊνστάιν αποδίδονται διάφορες παροιμιώδεις φράσεις, μια από αυτές που μου αρέσουν είναι και η παρακάτω:

'I want to know God's thoughts; all the rest are details'.

Καλά δεν το μάθατε ακόμα? Θα κάνουμε το γύρω της Ευρώπης με αυτοκίνητο με ένα μπουκάλι θαλασσινό νερό!
Youtube Video

http://antifono.gr/portal/κα% ... wking.html

Πριν περίπου 1 μήνα βρέθηκα στην Οξφόρδη προσκεκλημένος στις εκδηλώσεις προς τιμή του μεγαλύτερου μαθηματικού μετά τον Β’ ΠΠ, του Βρετανού Σερ Μάικλ Φράνσις Ατίγια (Sir Michael Francis Atiyah) που πέθανε πριν λίγους μήνες στις αρχές του 2019. Επειδή το όνομά του αναφέρεται στο παραπάνω άρθρο, θέλω να βάλω αυτό το σχόλιο προς τιμή του.

In Memoriam: Sir Michael Francis ATIYAH

Ο Βρετανός Sir Michael Francis Atiyah, (προφέρεται Ατίγια), ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του δεύτερου μισού του 20ου αιώνα απεβίωσε στις 11 Ιανουαρίου 2019 σε ηλικία 90 ετών. Σύμφωνα με το επικήδειο άρθρo των New York Times «…ήταν αυτός που ένωσε τα μαθηματικά και τη φυσική με έναν τρόπο που η ανθρωπότητα είχε να δει από τα χρόνια του Νεύτωνα».

https://www.nytimes.com/2019/01/11/obituaries/michael-atiyah-dead.html

Κατά την προσωπική γνώμη του γράφοντος αποτελεί τον μεγαλύτερο μαθηματικό διεθνώς μετά τον B’ ΠΠ (μαζί ίσως με τον A. Grothendieck του IHES).

Ο γράφων είχε την εξαιρετική τιμή (αλλά και … δυσκολία!) να έχει τον Atiyah εξωτερικό εξεταστή κατά την παρουσίαση της διδακτορικής του διατριβής στην Οξφόρδη (εκείνη την περίοδο ο Atiyah είχε ήδη βγει στη σύνταξη). Η διδακτορική διατριβή του γράφοντος ουσιαστικά ξεκινά με μια γενίκευση του Θεωρήματος Δείκτη του Atiyah για ψευδοδιαφορικούς τελεστές σε πολλαπλότητες που είναι «μερικώς ελλειπτικοί», βλέπε παρακάτω). To άρθρο αυτό αποτελεί μια ελάχιστη συνεισφορά στη μνήμη του. Αποτελεί και μια ευκαιρία να γίνουν γνωστά στο ευρύ κοινό κάποια ονόματα μεγάλων επιστημόνων της εποχής τα οποία δυστυχώς δεν έχουν την προβολή που τους αξίζει, κυρίως επειδή το αντικείμενο είναι πολύ τεχνικό και «αντιεμπορικό».

Ο Atiyah (Sir Michael για τους γνωστούς), γεννήθηκε στις 22 Απριλίου 1929 στο Λονδίνο. Γονείς του ήταν η Βρετανή Jean Levens και πατέρας του ο Λιβανέζος Edward Atiyah. Οι γονείς του γνωρίστηκαν ως φοιτητές στην Οξφόρδη. Ο πατέρας του ήταν διπλωματικός υπάλληλος στο ΥΠΕΞ της Βρετανίας και σε μικρή ηλικία η οικογένεια μετακόμισε στο Σουδάν. Στα 12 μετακινήθηκαν ξανά στο Κάιρο και στα 16 επέστρεψαν στην Αγγλία. Σπούδασε μαθηματικά στο Κέιμπριτζ και έκανε διδακτορικό στο ίδιο Πανεπιστήμιο υπό την επίβλεψη του W. Hodge. Εκεί γνωρίστηκαν με τον Roger Penrose (τον Dr Big-Bang & Black Hole). To 1955 έλαβε το διδακτορικό του στην αλγεβρική γεωμετρία και την ίδια χρονιά παντρεύτηκε την μαθηματικό Lily Brown. Η Lily απεβίωσε πέρυσι (Μάρτιος 2018). Απέκτησαν 3 παιδιά, το μεγαλύτερο σκοτώθηκε σε ορειβατικό δυστύχημα το 2002.

Το κύριο μέρος της καριέρας του το πέρασε στo Ινστιτούτο Μαθηματικών στην Οξφόρδη (που απετέλεσε και την βάση του) ως Royal Society Research Professor αν και ήταν τακτικός επισκέπτης σε πολλά πανεπιστήμια και ερευνητικά κέντρα (ιδιαίτερα αναφέρουμε το Χάρβαρντ, το Institute for Advanced Study στο Princeton, το IHES στο Παρίσι κλπ).

Ο Atiyah τιμήθηκε με το Fields Medal το 1966 (η ανώτατη τιμητική διάκριση διεθνώς στα μαθηματικά που όμως απονέμεται κάθε 4 χρόνια και όχι κάθε χρόνο όπως τα βραβεία Νομπέλ, δεν υπάρχει Νομπέλ στα μαθηματικά) και με το Abel Prize το 2004 ενώ για μια περίπου πενταετία ήταν πρόεδρος της Royal Society. Επίσης του απονεμήθηκε ο τίτλος του Συνοδού της Βασίλισσας της Αγγλίας (Companion of the Order of Merit) με σειρά 2 (αμέσως μετά τον σύζυγό της). Τρεις «φοιτητές» του επίσης τιμήθηκαν με το Fields Medal: o Γάλλος A. Connes από το IHES, ο Βρετανός S.K. Donaldson από την Οξφόρδη και ο Αμερικανός E. Witten από το Princeton.

Η επιστημονική εργασία του Atiyah υπήρξε εντυπωσιακή όχι μόνο σε ποιότητα αλλά και σε ποσότητα. Γενικά εντάσσεται στο χώρο της Γεωμετρίας-Τοπολογίας-Ολικής Ανάλυσης-Θεωρητικής Φυσικής (Geometry-Topology-Global Analysis-Theoretical Physics). Ειδικότερα, μπορεί να χωριστεί σε 3 θεματικές ενότητες:

1. Θεωρία Δείκτου (Index Theory).

2. K – Θεωρία (Κ-Theory).

3. Μαθηματική Θεωρία Βαθμίδας (Mathematical Gauge Theory).

Θα γράψουμε λίγα λόγια για τις 2 πρώτες που είναι πολύ τεχνικά θέματα και λίγα περισσότερα για την τρίτη.

Η Θεωρία Δείκτου ουσιαστικά και πολύ γενικά αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού του χώρου των λύσεων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους σε γενικευμένους χώρους όπως οι πολλαπλότητες (που γενικεύουν τους γνωστούς Ευκλείδειους χώρους), χωρίς να απαιτείται η επίλυση των εξισώσεων.

Η Κ-Θεωρία αποτελεί μια «γενικευμένη ομολογική θεωρία»: είναι μια μέθοδος προσδιορισμού τοπολογικών ιδιοτήτων μαθηματικών χώρων (CW complexes) χωρίς να απαιτείται ο υπολογισμός των ομοτοπικών ομάδων που συνήθως είναι εξαιρετικά πολύπλοκος. Ουσιαστικά «δυϊλίζει» την χρήσιμη πληροφορία των ομοτοπικών ομάδων της αλγεβρικής τοπολογίας και την συγκεντρώνει σε (συνήθως) μόνο 2 ομάδες που είναι απλούστερες στον υπολογισμό.

Η μαθηματική θεωρία βαθμίδας αποτελεί μια προσπάθεια να ξαναγραφεί η θεωρητική φυσική στα πρότυπα της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, πιο αναλυτικά: Είναι γνωστό ότι στην φύση μέχρι στιγμής έχουν παρατηρηθεί 4 δυνάμεις (αλληλεπιδράσεις): η βαρύτητα, η ασθενής πυρηνική, η ισχυρή πυρηνική και η ηλεκτρομαγνητική. Κάθε σωμάτιο ή σώμα, για να «αισθανθεί» την κάθε μια από αυτές τις 4 δυνάμεις θα πρέπει να διαθέτει το κατάλληλο «υπόθεμα»: για να «αισθανθεί» ένα σωμάτιο την ηλεκτρομαγνητική δύναμη θα πρέπει να έχει ηλεκτρικό φορτίο. Στην ορολογία της φυσικής λέμε ότι «το υπόθεμα της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης είναι το ηλεκτρικό φορτίο». Αντίστοιχα το υπόθεμα της βαρύτητας είναι η μάζα, το υπόθεμα της ισχυρής πυρηνικής δύναμης είναι μια ιδιότητα που λέγεται color (δεν έχει σχέση με τα κοινά χρώματα), κλπ (επίτηδες αφήνουμε έξω την ασθενή αλληλεπίδραση διότι εκεί τα πράγματα είναι κάπως πιο πολύπλοκα αλλά γενικά ισχύει αυτό που γράψαμε). Στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας ο Αϊνστάιν συνέδεσε την παρουσία μάζας (υπόθεμα της βαρύτητας) με την καμπύλωση του χωρόχρονου. O Atiyah ανακάλυψε το εξής κομβικό γεγονός: ότι κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με τα υποθέματα των υπόλοιπων 3 αλληλεπιδράσεων: η παρουσία τους προκαλεί καμπύλωση όχι στον ίδιο τον χωρόχρονο αλλά στον αντίστοιχο «εσωτερικό χώρο» (Internal space) που αποτελεί μια «πρωτεύουσα νηματική δέσμη» πάνω από τον χωρόχρονο! Έτσι και οι 4 φυσικές αλληλεπιδράσεις απέκτησαν κοινή γεωμετρική δομή! (Σημείωση για τους ειδικούς: Η πρωτεύουσα νηματική δέσμη είναι μια πολύπλοκη μαθηματική δομή που γενικεύει το Καρτεσιανό γινόμενο και εμπεριέχει τις ομάδες συμμετρίας των αντίστοιχων φυσικών αλληλεπιδράσεων).

Το Οκτώβριο πέρυσι ο Atiyah δημιούργησε αναταραχή στους διεθνείς μαθηματικούς κύκλους ισχυριζόμενος ότι επέλυσε την εικασία Ρήμαν. Η άποψη του γράφοντος είναι ότι αυτό δεν ισχύει ακριβώς αλλά όσοι έχουν διαβάσει τα σχετικά άρθρα βρίσκουν πολλές χρήσιμες νέες ιδέες που πολύ πιθανώς οδηγήσουν τελικά στη λύση.

Ο Atiyah ήταν γνωστός ειρηνιστής και ακτιβιστής, είχε δραστηριοποιηθεί στην γνωστή «Ομάδα Pugwash» (με αρχικό σκοπό την ειρηνική διευθέτηση των Ινδο-Πακιστανικών διαφορών), o ιδρυτής της οποίας το 1995 κέρδισε το Βραβείο Νομπέλ Ειρήνης. Χόμπυ του ήταν η κηπουρική, όπου διέμενε διατηρούσε κήπο με υπέροχα τριαντάφυλλα (τα οποία είχε θαυμάσει και ο γράφων). Ο Αtiyah είχε αρθρογραφήσει σε μεγάλες εφημερίδες της Αγγλίας κατά του Brexit. Επίσης ο Atiyah είχε δραστηριοποιηθεί έντονα στην αύξηση της ενημέρωσης του κοινού για την επιστήμη. Ήταν ένθερμος υποστηρικτής των «εκλαϊκευτικών άρθρων» για το ευρύ κοινό. Χαρακτηριστικά έλεγε ότι δεν μπορεί οι επιστήμονες να ζητούν χρηματοδότηση από τον φορολογούμενο χωρίς να προσπαθούν τουλάχιστον να του εξηγήσουν τι κάνουν. Ειδικά αυτό ισχύει ενισχυμένα στα μαθηματικά που τα αποτελέσματα δεν είναι άμεσα και ορατά. Επίσης πίστευε στην ενότητα φυσικής και μαθηματικών και στην λεγόμενη bottom – up προσέγγιση των μαθηματικών, δηλαδή ξεκινάμε από ένα πρόβλημα που καταλαβαίνουν όλοι (συνήθως της φυσικής) και φτάνουμε σε απίστευτο βαθμό γενίκευσης και αφαίρεσης (αυτό σε αντιδιαστολή με τον Grothendieck…). Χαρακτηριστικό ήταν το πως περιέγραφε την «ιδανική» μαθηματική ωριαία διάλεξη: το πρώτο 15λεπτο πρέπει να το καταλαβαίνει μέχρι και ο θυρωρός του κτηρίου, το δεύτερο 15λεπτο μόνο οι (ειδικοί) μαθηματικοί, το τρίτο μόνο ο ομιλών και το τέταρτο…ο Θεός!

Υπαρχουν εκλαϊκευμενα κειμενα για μη φυσικομαθηματικους  για το internal space....

Πρωτη φορα το ακουω και ειναι πολυ ενδιαφερον.

Είχα πει ότι θα έγραφα ένα κάπως πιο αναλυτικό εκλαϊκευτικό άρθρο για την εργασία του καθηγητή μου Roger Penrose στην Οξφόρδη για το πρόσφατο βραβείο Νόμπελ Φυσικής. Here it is!

To βραβείο Νόμπελ Φυσικής για το 2020 απονεμήθηκε στον Βρετανό Roger Penrose. Ο Penrose γεννήθηκε το 1931 και μέχρι το 1999 που συνταξιοδοτήθηκε κατείχε την θέση του Rouse Ball Professor of Mathematics στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, σήμερα είναι ομότιμος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής για το θεώρημα των χωροχρονικών ανωμαλιών (Spacetime Singularity Theorem). Το Θεώρημα αυτό αν εφαρμοστεί στην περίπτωση αστέρων ή γαλαξιών οδηγεί στην απόδειξη της ύπαρξης μελανών οπών (μαύρες τρύπες) ενώ μια παραλλαγή αυτού αν εφαρμοστεί στην περίπτωση ολόκληρου του Σύμπαντος οδηγεί στην Θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης στην Κοσμολογία (Theory of Big-Bang). H εργασία του Penrose θεωρείται η δεύτερη σημαντικότερη εργασία στην Κοσμολογία μετά την Γενική θεωρία Σχετικότητας του Einstein το 1915.

[Το άρθρο αυτό περιέχει αποσπάσματα από συνομιλίες του συγγραφέα με τον Penrose κατά τη διάρκεια που ο συγγραφέας ήταν στην Οξφόρδη ως διδακτορικός φοιτητής αλλά αργότερα και ως μέλος ΔΕΠ του εν λόγω Πανεπιστημίου αλλά και αποσπάσματα από συνεντεύξεις του Penrose].

O Βρετανός μαθηματικός φυσικός Roger Penrose με μια στιγμιαία έμπνευση ανέτρεψε την καθιερωμένη άποψη για το σύμπαν.

Μια ψυχρή μέρα του Σεπτεμβρίου το 1964, ο Roger Penrose δέχτηκε μια επίσκεψη από έναν παλιό φίλο: Ο Βρετανός κοσμολόγος Ivor Robinson επισκέφθηκε την Αγγλία από το Ντάλας του Τέξας, όπου ζούσε και εργαζόταν.

Καθώς περπατούσαν κοντά στο γραφείο του Penrose στην Οξφόρδη σταμάτησαν για λίγο στο δρόμο, περιμένοντας το φανάρι για να διασχίσουν μια διασταύρωση. Η στιγμιαία στάση στον περίπατό τους συνέπεσε με μια χαλάρωση στη συνομιλία και έπεσαν στη σιωπή καθώς διέσχισαν το δρόμο.

Εκείνη τη στιγμή, το μυαλό της Penrose παρασύρθηκε. Ταξίδεψε 2,5 δισεκατομμύρια έτη φωτός μέσω του κενού του διαστήματος προς την νευρική μάζα ενός περιστρεφόμενου κβάζαρ. Φαντάστηκε πώς η βαρυτική κατάρρευση επικράτησε, τραβώντας έναν ολόκληρο γαλαξία βαθύτερα και πιο κοντά στο κέντρο. Σαν μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ που τραβά τα χέρια της κοντά στο σώμα της, η μάζα θα περιστρέφεται όλο και πιο γρήγορα καθώς συρρικνώνεται.

Αυτό το σύντομο εγκεφαλικό τρεμόπαιγμα οδήγησε σε μια συγκλονιστική ανακάλυψη - κάτι που 56 χρόνια αργότερα θα του χάριζε το βραβείο Νόμπελ Φυσικής.

Όπως πολλοί θεωρητικοί φυσικοί που εργάζονται για να δοκιμάσουν, να εξερευνήσουν και να επεκτείνουν τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν - ο Penrose είχε περάσει τις αρχές της δεκαετίας του 1960 μελετώντας μια παράξενη, αλλά ιδιαίτερα μπερδεμένη αντίφαση γνωστή ως «το πρόβλημα της ανωμαλίας» (The Singularity Problem).

Ο Αϊνστάιν δημοσίευσε τη Γενική Θεωρία Σχετικότητας το 1915, φέρνοντας επανάσταση στην κατανόηση του χώρου, του χρόνου, της βαρύτητας, της ύλης και της ενέργειας. Μέχρι τη δεκαετία του 1950, η θεωρία του Αϊνστάιν ήταν εξαιρετικά επιτυχημένη, αλλά πολλές από τις προβλέψεις του θεωρούνταν ακόμη απίθανες και αβάσιμες. Οι εξισώσεις του έδειχναν, για παράδειγμα, ότι θεωρητικά ήταν δυνατόν η βαρυτική κατάρρευση να αναγκάσει αρκετή ποσότητα ύλης να συρρικνωθεί σε μια αρκετά μικρή περιοχή που θα γινόταν απείρως πυκνή, σχηματίζοντας μια «ανωμαλία» (singularity) από την οποία ούτε καν το φως θα μπορούσε να διαφύγει. Αυτά έγιναν γνωστά ως μαύρες τρύπες.

Αλλά μέσα σε μια τέτοια ανωμαλία, οι γνωστοί νόμοι της φυσικής - συμπεριλαμβανομένης της θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν που το προέβλεπε - δεν θα ισχύουν πλέον.

Οι ανωμαλίες ήταν συναρπαστικές για τους μαθηματικούς σχετικιστές για αυτόν ακριβώς τον λόγο. Οι περισσότεροι φυσικοί, ωστόσο, συμφωνούσαν ότι το Σύμπαν μας ήταν πολύ ομαλό για να περιέχει πραγματικά τέτοιες περιοχές. Και ακόμη και αν υπήρχαν ανωμαλίες, δεν θα υπήρχε τρόπος να τις παρατηρήσουμε.

«Υπήρχε τεράστιος σκεπτικισμός για μεγάλο χρονικό διάστημα», λέει ο Penrose. 'Οι άνθρωποι περίμεναν να υπάρξει αναπήδηση: ότι ένα αντικείμενο θα καταρρεύσει και θα στροβιλιστεί με κάποιο περίπλοκο τρόπο και θα ξαναβγεί από την ανωμαλία.'

Στα τέλη της δεκαετίας του 1950, παρατηρήσεις από το αναδυόμενο πεδίο της ραδιοαστρονομίας έθεσαν αυτές τις ιδέες σε αμφισβήτηση. Οι ραδιοαστρονόμοι ανίχνευσαν νέα κοσμικά αντικείμενα που φαινόταν να είναι πολύ φωτεινά, πολύ μακρινά και πολύ μικρά. Τα ονόμασαν αρχικά 'οιονεί αστρικά αντικείμενα' (quasi-stellar objects) - αργότερα το όνομά τους συντομεύτηκε σε 'κβάζαρ' - αυτά τα αντικείμενα φάνηκαν να παρουσιάζουν υπερβολική ενέργεια σε πολύ μικρό χώρο. Ενώ φαινόταν αδύνατο, κάθε νέα παρατήρηση έδειχνε προς την ιδέα ότι τα κβάζαρ ήταν αρχαίοι γαλαξίες κατά τη διαδικασία της κατάρρευσης σε ανωμαλίες.

Οι επιστήμονες αναγκάστηκαν να αναρωτηθούν αν οι ανωμαλίες δεν ήταν τόσο απίθανες όσο νόμιζαν όλοι. Ήταν αυτή η πρόβλεψη της σχετικότητας κάτι περισσότερο από μια μαθηματική πτήση της φαντασίας;

Στο Ώστιν, το Πρίνστον και τη Μόσχα, στο Κέιμπριτζ και την Οξφόρδη, στη Νότια Αφρική, τη Νέα Ζηλανδία, την Ινδία και αλλού, κοσμολόγοι, αστρονόμοι και μαθηματικοί προσπάθησαν να βρουν μια οριστική θεωρία που θα μπορούσε να εξηγήσει τη φύση των κβάζαρ.

Οι περισσότεροι επιστήμονες προσέγγισαν την πρόκληση προσπαθώντας να εντοπίσουν εξαιρετικά εξειδικευμένες συνθήκες υπό τις οποίες μπορεί να σχηματιστεί μια ανωμαλία.

Ο Penrose υιοθέτησε μια διαφορετική προσέγγιση. Το φυσικό του ένστικτο ήταν πάντα η αναζήτηση γενικών λύσεων, βασικών αρχών και βασικών μαθηματικών δομών. Άλλωστε το διδακτορικό του στο Κέιμπριτζ ήταν στην Αλγεβρική Γεωμετρία. Πέρασε πολλές ώρες δουλεύοντας σε έναν μεγάλο πίνακα κιμωλίας καλυμμένο με καμπύλες και διαγράμματα δικής του επινόησης (αργότερα τα διαγράμματα αυτά ονομάστηκαν Penrose diagrams προς τιμή του και περιγράφουν την βαρυτική κατάρρευση).

Το 1963, μια ομάδα Ρώσων θεωρητικών φυσικών και μαθηματικών με επικεφαλής τον Isaac Khalatnikov δημοσίευσε ένα άρθρο που επιβεβαίωσε αυτό που οι περισσότεροι επιστήμονες εξακολουθούσαν να πιστεύουν - οι ανωμαλίες δεν ήταν μέρος του φυσικού μας Σύμπαντος. Στο Σύμπαν, είπαν, τα καταρρέοντα σύννεφα σκόνης ή τα αστέρια πράγματι θα επεκταθούν ξανά πολύ πριν φτάσουν στο σημείο της ανωμαλίας. Έπρεπε να υπάρξει κάποια άλλη εξήγηση για τα κβάζαρ.

Ο Penrose ήταν πολύ δύσπιστος.

«Είχα την έντονη αίσθηση ότι με τις μεθόδους που χρησιμοποιούσαν, ήταν απίθανο να είχαν καταλήξει σε ένα σταθερό συμπέρασμα σχετικά με αυτό », λέει. 'Μου φάνηκε ότι το πρόβλημα έπρεπε να εξεταστεί με έναν πιο γενικό τρόπο από ό, τι έκαναν, κάτι που ήταν κάπως περιορισμένο.'

Ωστόσο, ενώ απέρριψε τα επιχειρήματά τους, δεν μπορούσε ακόμη να αναπτύξει μια γενική λύση για το πρόβλημα της ανωμαλίας. Αυτό ήταν μέχρι την επίσκεψη του Ρόμπινσον. Αν και ο Ρόμπινσον μελετούσε επίσης το πρόβλημα των ανωμαλιών, δεν το συζήτησαν κατά τη διάρκεια της συνομιλίας τους εκείνη την φθινοπωρινή μέρα του 1964.

Ωστόσο, κατά τη σύντομη ησυχία αυτής της μοιραίας διέλευσης του δρόμου, ο Penrose συνειδητοποίησε ότι οι Ρώσοι έκαναν λάθος.

Όλη αυτή η ενέργεια, η κίνηση και η μάζα που συρρικνώνονται μαζί θα δημιουργήσουν μια θερμότητα τόσο έντονη που η ακτινοβολία θα εκραγεί σε κάθε μήκος κύματος προς κάθε κατεύθυνση. Όσο μικρότερο και γρηγορότερο γινόταν το κβάζαρ, τόσο περισσότερο θα λάμπει.

Έψαχνε στο μυαλό του για το σημείο που προέβλεπαν οι Ρώσοι, ότι αυτό το σύννεφο που συρρικνωνόταν, θα εκραγεί ξανά. Δεν υπήρχε τέτοιο σημείο. Στο μάτι του μυαλού, ο Penrose επιτέλους είδε πώς η κατάρρευση θα συνεχιζόταν ανεμπόδιστη. Έξω από το πυκνωτικό κέντρο, το αντικείμενο θα λάμπει με περισσότερο φως από όλα τα αστέρια στον γαλαξία μας. Και βαθιά μέσα, το φως θα κάμπτεται σε δραματικές γωνίες, τυλίγοντας σφιχτά τον ίδιο τον χώρο και τον χρόνο μέχρι να συγκλίνει κάθε κατεύθυνση.

Θα έρθει ένα σημείο χωρίς επιστροφή. Το φως, ο χώρος και ο χρόνος θα έρθουν σε πλήρη στάση. Μια μαύρη τρύπα.

Εκείνη τη στιγμή, ο Penrose ήξερε ότι η δημιουργία μιας ανωμαλίας δεν απαιτούσε ειδικές συνθήκες. Στο Σύμπαν μας, οι ανωμαλίες δεν ήταν αδύνατες. Ήταν αναπόφευκτες.

Πίσω στην άλλη πλευρά του δρόμου, συνέχισε τη συνομιλία του με τον Ρόμπινσον και αμέσως ξέχασε τι σκέφτηκε. Αποχαιρετήθηκαν και ο Penrose επέστρεψε στα σύννεφα κιμωλίας και τις στοίβες χαρτιού στο γραφείο του.

Το υπόλοιπο του απογεύματος κύλισε ομαλά με τον Penrose να βρίσκεται σε μια υπερβολικά καλή διάθεση. Δεν μπορούσε να καταλάβει γιατί. Άρχισε να αναθεωρεί την ημέρα του, διερευνώντας τι μπορεί να τροφοδοτεί αυτή την ευφορία του.

Το μυαλό του επέστρεψε σε εκείνη τη στιγμή της σιωπής διασχίζοντας το δρόμο. Και όλα επέστρεψαν πίσω. Είχε λύσει το πρόβλημα των ανωμαλιών.

Άρχισε να γράφει εξισώσεις, έκανε δοκιμές, επεξεργασία, αναδιάταξη λύσεων. Το επιχείρημα ήταν ακόμα ακατέργαστο, αλλά όλα λειτούργησαν. Μια βαρυτική κατάρρευση απαιτούσε μόνο μερικές πολύ γενικές, εύκολες στο να ικανοποιηθούν ενεργειακές συνθήκες, για να επιτελεστεί καταρρεύσει σε άπειρη πυκνότητα. Ο Penrose γνώριζε εκείνη τη στιγμή ότι έπρεπε να υπάρχουν δισεκατομμύρια ανωμαλίες στο Σύμπαν.

Ήταν μια ιδέα που θα ανέτρεπε την κατανόησή μας για το Σύμπαν και θα διαμόρφωνε αυτό που γνωρίζουμε σήμερα γι 'αυτό.

Μέσα σε δύο μήνες, ο Penrose είχε αρχίσει να δίνει διαλέξεις για το θεώρημά του. Στα μέσα Δεκεμβρίου, υπέβαλε μια εργασία στο ακαδημαϊκό περιοδικό Physical Review Letters, το οποίο δημοσιεύθηκε στις 18 Ιανουαρίου 1965 - μόλις τέσσερις μήνες αφότου διέσχισε το δρόμο με τον Ivor Robinson.

Η υποδοχή του άρθρου από την διεθνή επιστημονική κοινότητα δεν ήταν ακριβώς αυτό που ήλπιζε. Το θεώρημα χωροχρονικών ανωμαλιών του Penrose συζητήθηκε και αμφισβητήθηκε εντονότατα.

Η διαμάχη ξεκίνησε στο Διεθνές Συνέδριο Γενικής Σχετικότητας και Βαρύτητας στο Λονδίνο αργότερα εκείνο το έτος.

«Το κλίμα δεν ήταν καθόλου φιλικό. Οι Ρώσοι ήταν αρκετά ενοχλημένοι και οι άνθρωποι δίσταζαν να παραδεχτούν ότι είχαν κάνει λάθος », λέει ο Penrose. Το συνέδριο τελείωσε με το θέμα αν ο Penrose είχε δίκαιο ή άδικο ανοικτό και σε εκκρεμότητα.

Όμως λίγο αργότερα, προέκυψε ότι το ρωσικό άρθρο είχε λάθη στους υπολογισμούς του - τα μαθηματικά ήταν ατελή, τα συμπεράσματά τους δεν ήταν πλέον αποδεκτά.

Υπήρξε ένα σφάλμα στον τρόπο που το έκαναν», λέει ο Penrose.

Μέχρι τα τέλη του 1965, το θεώρημα Penrose Singularity αποκτούσε αποδοχή σε όλο τον κόσμο. Η μοναδική του λάμψη διορατικότητας έγινε κινητήρια δύναμη στην κοσμολογία. Είχε τρομακτικές επιπτώσεις στην κοσμολογία γενικότερα, πέρα από το να εξηγήσει τι ήταν ένα κβάζαρ - είχε αποκαλύψει μια μεγάλη αλήθεια για την υποκείμενη πραγματικότητα του Σύμπαντός μας. Οποιαδήποτε κοσμολογικά μοντέλα του σύμπαντος εμφανίστηκαν από τότε και μετά έπρεπε να συμπεριλαμβάνουν τις ανωμαλίες, πράγμα που σήμαινε τη συμπερίληψη της επιστήμης που υπερβαίνει τη σχετικότητα.

Οι ανωμαλίες άρχισαν επίσης να εισχωρούν στη δημόσια συνείδηση, χάρη εν μέρει στο ότι έγιναν γνωστές ως «μαύρες τρύπες», ένας όρος που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά δημόσια από την αμερικανική επιστημονική δημοσιογράφο Ann Ewing.

Σε συνεργασία με τον Stephen Hawking, o Penrose εφάρμοσε το θεώρημά του για το σύμπαν συνολικά για να υποστηρίξει με μαθηματικά τη λεγόμενη Θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης (Big Bang Theory). Οι ανωμαλίες έγιναν κεντρικό θέμα σε κάθε θεωρία σχετικά με τη φύση, την ιστορία και το μέλλον του Σύμπαντος.

Ο ίδιος ο Penrose συνέχισε να αναπτύσσει μια εναλλακτική λύση στη θεωρία του Big Bang γνωστή ως Conformal Cyclic Cosmology, τα στοιχεία για τα οποία θα μπορούσαν να προέλθουν από τα υπολείμματα σημάτων από αρχαίες μαύρες τρύπες.

Το 2013, η μηχανικός Η/Υ Katie Bouman ηγήθηκε μιας ομάδας ερευνητών που ανέπτυξαν έναν αλγόριθμο που ήλπιζαν ότι θα επιτρέψουν τη φωτογράφηση μαύρων τρυπών. Τον Απρίλιο του 2019, το τηλεσκόπιο Event Horizons χρησιμοποίησε αυτόν τον αλγόριθμο για τη λήψη των πρώτων εικόνων μιας μαύρης τρύπας, παρέχοντας δραματική οπτική επιβεβαίωση τόσο των αμφιλεγόμενων θεωριών του Einstein όσο και του Penrose.

Ο Penrose, σήμερα 89 ετών, ενώ χαίρεται που του απονεμήθηκε η υψηλότερη τιμητική διάκριση διεθνώς στη φυσική, το βραβείο Νόμπελ, υπάρχει κάτι άλλο που απασχολεί στο μυαλό του.

«Είναι παράξενο: Προσπαθώ να προσαρμοστώ. Είναι πολύ κολακευτικό και τεράστια τιμή και το εκτίμησα πολύ », μου λέει λίγες ώρες μετά τη λήψη των ειδήσεων. «Αλλά από την άλλη πλευρά, προσπαθώ να γράψω τρία διαφορετικά (επιστημονικά) άρθρα ταυτόχρονα, και αυτό το καθιστά δυσκολότερο από πριν.» Το τηλέφωνο, εξηγεί, δεν σταμάτησε να χτυπάει με ανθρώπους που τον συγχαίρουν και δημοσιογράφους που ζητούν συνεντεύξεις. Και όλη αυτή η φασαρία τον αποσπά από το να επικεντρώνεται στις τελευταίες του θεωρίες.

Ο Penrose γνωρίζει καλύτερα από οποιονδήποτε τη δύναμη της σιωπής και τη λάμψη της διορατικότητας που αυτή μπορεί να προσφέρει.

Ο Penrose τα τελευταία χρόνια αναπτύσσει μια θεωρία που την ονομάζει Twistor Geometry (Συστροφική Γεωμετρία). Είναι ένα μαθηματικό πλαίσιο για την ενοποίση όλων των φυσικών αλληλεπιδράσεων που στηρίζεται στην ύπαρξη μιας θεμελιώδους γεωμετρικής δομής που λέγεται Twistor Space (Συστροφικός Χώρος) και αποτελεί μια πολλαπλότητα μιγαδικής διάσταση 4 (οπότε είναι ομοιομορφική με μια πραγματική πολλαπλότητα διάστασης 8). Με κάποιες τεχνικές (twistor compactifications, συστροφικές συμπαγοποιήσεις) προκύπτει η μακροσκοπική (πραγματική) διάσταση του σύμπαντος που είναι 4.

O Penrose είναι και άριστος συγγραφέας «εκλαϊκευτικών» βιβλίων για την επιστήμη, ενδεικτικά αναφέρουμε The Emperor’s New Mind, The Road to Reality, etc και είναι φανατικός πολέμιος της λεγόμενης Strong AI (η υπόθεση ότι οι υπολογιστές κάποια στιγμή στο μέλλον θα μπορέσουν να σκέφτονται όπως οι άνθρωποι). Τα τελευταία 5 χρόνια δραστηριοποιείται έντονα στο Penrose Institute που έχει 2 παραρτήματα, ένα στην Οξφόρδη και ένα στην Καλιφόρνια και ασχολείται με την συστροφική γεωμετρία αλλά και με τα θεμέλια της κβαντικής θεωρίας και ευρύτερες εφαρμογές αυτής όπως κβαντικοί υπολογιστές, κβαντική κρυπτογραφία, κβαντική βιολογία, κβαντικά νευρωνικά δίκτυα και κβαντική μηχανική μάθηση κλπ σε πολλά από τα οποία έχει συνεισφέρει στην ίδρυση των επιστημονικών αυτών χώρων.

Η πρωτότυπη μορφή του θεωρήματος χωροχρονικών ανωμαλιών του Penrose (1965) είναι η παρακάτω:

Ιf the space-time contains a non-compact Cauchy hypersurface Σ and a closed future-trapped surface, and if the convergence condition

Rρνuρuν ≥ 0

holds for null uν, then there are future incomplete null geodesics.

Για περισσότερες λεπτομέρειες μπορεί κάποιος να διαβάσει ένα εξαιρετικό review article του Hawking που υπάρχει διαθέσιμο online

https://arxiv.org/pdf/hep-th/9409195.pdf

Φωτό: Roger Penrose & Stephen Hawking, Mathematical Institute, Andrew Wiles Building, Oxford 2014)