-
Διάβασα πρόσφατα το εξαιρετικό βιβλίο του Aπόστολου Δοξιάδη, 'ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ'. Από τα ελάχιστα βιβλία, που έχω τελειώσει μεμιάς ξενυχτώντας.
Απίθανη πλοκή, απλός λόγος χωρίς κουραστικές φιοριτούρες, και μία από τις υπερτάτες αξίες, που έχω υιοθετήσει κι εγώ στη ζωή μου, κι ας φαίνεται παράλογο στους περισσότερους.
Ο θείος Πέτρος δεν είναι ένας Δον Κιχώτης που κυνηγάει με σκουριασμένο σπαθί ανεμόμυλους. Ή μάλλον έχει κάτι μέσα του από Δον Κιχώτη. Αλλά η προσήλωσή του σε ένα στόχο, που δεν γίνεται κατανοητή από όλους τους υπόλοιπους, είναι αυτό που καθορίζει την ίδια του τη ζωή... Δε λέω περισσότερα, διαβάστε το.Το θέμα μου είναι η ίδια η εικασία.
'Οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων'.
Η εικασία του Goldbach διατυπώθηκε γύρω στα τέλη του 18ου αιώνα, αν θυμάμαι καλά και είναι μέχρι και σήμερα αναπόδεικτη. Πριν λίγα χρόνια το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης (νομίζω) είχε προκηρύξει έπαθλο 1εκ. δολ. για την διατύπωση απόδειξης.
Βέβαια είναι μία εικασία, που θα μπορούσε να μην έχει καν απόδειξη. Αυτό είναι ένα ενδεχόμενο υπαρκτό.
Δεν ξέρω μαθηματικά, ούτε και τρέφω ελπίδες ότι θα βρεθεί εδώ σε αυτό το φόρουμ η απόδειξη (αν και ποτέ μη λες ποτέ!) αλλά έχω κάνει μία απλοική σκέψη, που θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας.
Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί, που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους, για να μας δώσουν ακέραιο αριθμό. Το 3, το 5 και το 7 είναι πρώτοι αριθμοί.
Πρέπει να έχουμε κατά νου, ότι δεν υπάρχει λογική ακολουθία ως προς τη διαδοχή των πρώτων αριθμών, επομένως δεν υπάρχει και αλγόριθμος, που θα μας βοηθούσε να τους εντοπίσουμε.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.Το 2 είναι ο μόνος πρώτος αριθμός, που είναι ζυγός.
Όλοι οι πρώτοι αριθμοί, πλην του 2, είναι μονοί. Δεδομένο α.
Η πρόσθεση δύο μονών αριθμών μας δίνει πάντα ζυγό αριθμό. Δεδομένο β.
Με βάση τους κανόνες της λογικής συνδυάζοντας το α με το β, φτάνουμε στο εξής:
To άθροισμα δύο πρώτων, που είναι οπωσδήποτε μονοί (εφόσον είπαμε ότι όλοι οι πρώτοι είναι μονοί, πλην του 2) μας δίνει πάντα άθροισμα ζυγό αριθμό. Ας πούμε το 4 (3+1), το 8 (5+3), το 10 (7+3).
Και η εικασία λέει:
'Οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων'.Με βάση τον παραπάνω απλό συλλογισμό φαίνεται να ισχύει. Αλλά είμαι σίγουρος ότι δεν είναι τόσο απλό. Τι λέτε;
-
Διάβασα πρόσφατα το εξαιρετικό βιβλίο του Aπόστολου Δοξιάδη, 'ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ'. Από τα ελάχιστα βιβλία, που έχω τελειώσει μεμιάς ξενυχτώντας.
Απίθανη πλοκή, απλός λόγος χωρίς κουραστικές φιοριτούρες, και μία από τις υπερτάτες αξίες, που έχω υιοθετήσει κι εγώ στη ζωή μου, κι ας φαίνεται παράλογο στους περισσότερους.
Ο θείος Πέτρος δεν είναι ένας Δον Κιχώτης που κυνηγάει με σκουριασμένο σπαθί ανεμόμυλους. Ή μάλλον έχει κάτι μέσα του από Δον Κιχώτη. Αλλά η προσήλωσή του σε ένα στόχο, που δεν γίνεται κατανοητή από όλους τους υπόλοιπους, είναι αυτό που καθορίζει την ίδια του τη ζωή... Δε λέω περισσότερα, διαβάστε το.Το θέμα μου είναι η ίδια η εικασία.
'Οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων'.
Η εικασία του Goldbach διατυπώθηκε γύρω στα τέλη του 18ου αιώνα, αν θυμάμαι καλά και είναι μέχρι και σήμερα αναπόδεικτη. Πριν λίγα χρόνια το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης (νομίζω) είχε προκηρύξει έπαθλο 1εκ. δολ. για την διατύπωση απόδειξης.
Βέβαια είναι μία εικασία, που θα μπορούσε να μην έχει καν απόδειξη. Αυτό είναι ένα ενδεχόμενο υπαρκτό.
Δεν ξέρω μαθηματικά, ούτε και τρέφω ελπίδες ότι θα βρεθεί εδώ σε αυτό το φόρουμ η απόδειξη (αν και ποτέ μη λες ποτέ!) αλλά έχω κάνει μία απλοική σκέψη, που θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας.
Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί, που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους, για να μας δώσουν ακέραιο αριθμό. Το 3, το 5 και το 7 είναι πρώτοι αριθμοί.
Πρέπει να έχουμε κατά νου, ότι δεν υπάρχει λογική ακολουθία ως προς τη διαδοχή των πρώτων αριθμών, επομένως δεν υπάρχει και αλγόριθμος, που θα μας βοηθούσε να τους εντοπίσουμε.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.Το 2 είναι ο μόνος πρώτος αριθμός, που είναι ζυγός.
Όλοι οι πρώτοι αριθμοί, πλην του 2, είναι μονοί. Δεδομένο α.
Η πρόσθεση δύο μονών αριθμών μας δίνει πάντα ζυγό αριθμό. Δεδομένο β.
Με βάση τους κανόνες της λογικής συνδυάζοντας το α με το β, φτάνουμε στο εξής:
To άθροισμα δύο πρώτων, που είναι οπωσδήποτε μονοί (εφόσον είπαμε ότι όλοι οι πρώτοι είναι μονοί, πλην του 2) μας δίνει πάντα άθροισμα ζυγό αριθμό. Ας πούμε το 4 (3+1), το 8 (5+3), το 10 (7+3).
Και η εικασία λέει:
'Οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων'.Με βάση τον παραπάνω απλό συλλογισμό φαίνεται να ισχύει. Αλλά είμαι σίγουρος ότι δεν είναι τόσο απλό. Τι λέτε;
-
Διάβασα πρόσφατα το εξαιρετικό βιβλίο του Aπόστολου Δοξιάδη, 'ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ'. Από τα ελάχιστα βιβλία, που έχω τελειώσει μεμιάς ξενυχτώντας.
Απίθανη πλοκή, απλός λόγος χωρίς κουραστικές φιοριτούρες, και μία από τις υπερτάτες αξίες, που έχω υιοθετήσει κι εγώ στη ζωή μου, κι ας φαίνεται παράλογο στους περισσότερους.
Ο θείος Πέτρος δεν είναι ένας Δον Κιχώτης που κυνηγάει με σκουριασμένο σπαθί ανεμόμυλους. Ή μάλλον έχει κάτι μέσα του από Δον Κιχώτη. Αλλά η προσήλωσή του σε ένα στόχο, που δεν γίνεται κατανοητή από όλους τους υπόλοιπους, είναι αυτό που καθορίζει την ίδια του τη ζωή... Δε λέω περισσότερα, διαβάστε το.Το θέμα μου είναι η ίδια η εικασία.
'Οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων'.
Η εικασία του Goldbach διατυπώθηκε γύρω στα τέλη του 18ου αιώνα, αν θυμάμαι καλά και είναι μέχρι και σήμερα αναπόδεικτη. Πριν λίγα χρόνια το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης (νομίζω) είχε προκηρύξει έπαθλο 1εκ. δολ. για την διατύπωση απόδειξης.
Βέβαια είναι μία εικασία, που θα μπορούσε να μην έχει καν απόδειξη. Αυτό είναι ένα ενδεχόμενο υπαρκτό.
Δεν ξέρω μαθηματικά, ούτε και τρέφω ελπίδες ότι θα βρεθεί εδώ σε αυτό το φόρουμ η απόδειξη (αν και ποτέ μη λες ποτέ!) αλλά έχω κάνει μία απλοική σκέψη, που θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας.
Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί, που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους, για να μας δώσουν ακέραιο αριθμό. Το 3, το 5 και το 7 είναι πρώτοι αριθμοί.
Πρέπει να έχουμε κατά νου, ότι δεν υπάρχει λογική ακολουθία ως προς τη διαδοχή των πρώτων αριθμών, επομένως δεν υπάρχει και αλγόριθμος, που θα μας βοηθούσε να τους εντοπίσουμε.
Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι.Το 2 είναι ο μόνος πρώτος αριθμός, που είναι ζυγός.
Όλοι οι πρώτοι αριθμοί, πλην του 2, είναι μονοί. Δεδομένο α.
Η πρόσθεση δύο μονών αριθμών μας δίνει πάντα ζυγό αριθμό. Δεδομένο β.
Με βάση τους κανόνες της λογικής συνδυάζοντας το α με το β, φτάνουμε στο εξής:
To άθροισμα δύο πρώτων, που είναι οπωσδήποτε μονοί (εφόσον είπαμε ότι όλοι οι πρώτοι είναι μονοί, πλην του 2) μας δίνει πάντα άθροισμα ζυγό αριθμό. Ας πούμε το 4 (3+1), το 8 (5+3), το 10 (7+3).
Και η εικασία λέει:
'Οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων'.Με βάση τον παραπάνω απλό συλλογισμό φαίνεται να ισχύει. Αλλά είμαι σίγουρος ότι δεν είναι τόσο απλό. Τι λέτε;
-
Ενδιαφέρον
Έχεις αποδείξει ότι το άθροισμα δύο πρώτων, εκτός του 2, μας δίνει πάντα ζυγό. Φαντάζομαι ότι απέχει από το να αποδείξεις ότι κάθε ζυγός αριθμός εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων.
Ή αλλιώς, έστω ότι υπάρχει ζυγός αριθμός που δεν εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων. Γιατί αυτό να είναι άτοπο; -
Σωστός ο Di0, απο το συλλογισμό σου λείπει η απόδειξη πως κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 γράφεται σαν άθροισμα 2 πρώτων που δεν ξέρω αν ισχύει, πρέπει να το αποδείξεις.
-
Εχετε δίκιο.
Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι όλοι οι ζυγοί αριθμοί οι μεγαλύτεροι του 2 εκφράζονται ως άθροισμα δύο πρώτων.
Αυτό που παρέλειψα είναι ότι όλοι οι πρώτοι είναι μονοί, αλλά δεν είναι όλοι οι μονοί πρώτοι.
Παράδειγμα το 15.
-
για αυτούς που τα μόνα μαθηματικά που έχουν δει είναι αυτά του Λυκείου, το να προσπαθείς να λύσεις την εικασία του γκολντμπαχ με αυτά , είναι σα να προσπα΄θείς να οδηγήσεις αυτοκίνητο με ένα χέρι και χωρίς πόδια.
Τα μαθηματικά είναι μία τεράστια επιστήμη με πολλούς κλάδους που σου δίνουν εργαλεία για να αντιμετωπίσεις τα διάφορα προβλήματα.
έτσι, με τη θεωρία γκαλουά αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατη η τριχοτόμηση της γωνίας, ενώ το άλλο περίφημο άλυτο πρόβλημα, το θεώρημα του φερμά αποδείχτηκε πρόσφατα (δεκαετία 90) με χρήση πολύ μεταγενέστερων θεωρημάτων.
Ειδικά με τα διάσημα προβλήματα έχουν καταπιαστεί όλοι οι διάσημοι μαθηματικοί, και πιστέψτε με, αυτοί οδηγούν με τρία πόδια και τρία χέρια.
Το να αποδείξουμε την εικασία εδώ θα είναι αντίστοιχος άθλος με το να καταφέρει μια μαιμού να γράψει ένα έργο του σέξπηρ χτυπώντας στην τύχη πλήκτρα του πληκτρολογίου. Δεν αποκλείεται αλλά είναι εντελώς απίθανο.
-
Έτσι ακριβώς. Η γυναίκα του Καίσαρα δεν αρκεί να είναι τίμια, πρέπει και να φαίνεται. Χρειάζονται αποδείξεις.
Ωραία τα μαθηματικά, ρε παιδιά. Κάνουν το μυαλό σου να δουλεύει. -
κι όμως, έχει ήδη συζητηθεί και αυτό!
Ωραίο θέμα άνοιξες πάντωςhttp://www.4troxoi.gr/phpBB2/viewtopic. ... 745#273745
και στην επόμενη σελίδα. -
Ο χρήστης nikapos έγραψε:
για αυτούς που τα μόνα μαθηματικά που έχουν δει είναι αυτά του Λυκείου, το να προσπαθείς να λύσεις την εικασία του γκολντμπαχ με αυτά , είναι σα να προσπα΄θείς να οδηγήσεις αυτοκίνητο με ένα χέρι και χωρίς πόδια.Τα μαθηματικά είναι μία τεράστια επιστήμη με πολλούς κλάδους που σου δίνουν εργαλεία για να αντιμετωπίσεις τα διάφορα προβλήματα.
έτσι, με τη θεωρία γκαλουά αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατη η τριχοτόμηση της γωνίας, ενώ το άλλο περίφημο άλυτο πρόβλημα, το θεώρημα του φερμά αποδείχτηκε πρόσφατα (δεκαετία 90) με χρήση πολύ μεταγενέστερων θεωρημάτων.
Ειδικά με τα διάσημα προβλήματα έχουν καταπιαστεί όλοι οι διάσημοι μαθηματικοί, και πιστέψτε με, αυτοί οδηγούν με τρία πόδια και τρία χέρια.
Το να αποδείξουμε την εικασία εδώ θα είναι αντίστοιχος άθλος με το να καταφέρει μια μαιμού να γράψει ένα έργο του σέξπηρ χτυπώντας στην τύχη πλήκτρα του πληκτρολογίου. Δεν αποκλείεται αλλά είναι εντελώς απίθανο.
Λογική αντίφαση.
Σωστά όλα τα υπόλοιπα. Αλλά ξέρεις τι συμβαίνει μερικές φορές με την επιστημή; Κάποιος, που είναι απέξω, τυχαίνει καμιά φορά να βλέπει καθαρότερα. Είναι αυτός, που ξεκινά το συλλογισμό από τελείως διαφορετική οπτική γωνία και εκ του μηδενός.
-
Πολλές φορές στο παρελθόν βρέθηκαν λύσεις απο άτομα που ήταν σαν να οδηγάνε με ενα χέρι και χωρίς πόδια ενω οι υπόλοιποι που οδηγούσαν με 3 χέρια και με 5 πόδια δεν έβλεπαν που πάνε.
-
Διότι, εκτός από χέρια και πόδια, πρέπει να έχεις και μάτια.
-
...και να τα έχεις και ανοιχτά.
-
Ο χρήστης IKE έγραψε:
Πολλές φορές στο παρελθόν βρέθηκαν λύσεις απο άτομα που ήταν σαν να οδηγάνε με ενα χέρι και χωρίς πόδια ενω οι υπόλοιποι που οδηγούσαν με 3 χέρια και με 5 πόδια δεν έβλεπαν που πάνε.στο απόλυτο σκοτάδι, ο τυφλός 'βλέπει' καλύτερα
-
Ο χρήστης Pai Mei έγραψε:
για αυτούς που τα μόνα μαθηματικά που έχουν δει είναι αυτά του Λυκείου, το να προσπαθείς να λύσεις την εικασία του γκολντμπαχ με αυτά , είναι σα να προσπα΄θείς να οδηγήσεις αυτοκίνητο με ένα χέρι και χωρίς πόδια.
Τα μαθηματικά είναι μία τεράστια επιστήμη με πολλούς κλάδους που σου δίνουν εργαλεία για να αντιμετωπίσεις τα διάφορα προβλήματα.
έτσι, με τη θεωρία γκαλουά αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατη η τριχοτόμηση της γωνίας, ενώ το άλλο περίφημο άλυτο πρόβλημα, το θεώρημα του φερμά αποδείχτηκε πρόσφατα (δεκαετία 90) με χρήση πολύ μεταγενέστερων θεωρημάτων.
Ειδικά με τα διάσημα προβλήματα έχουν καταπιαστεί όλοι οι διάσημοι μαθηματικοί, και πιστέψτε με, αυτοί οδηγούν με τρία πόδια και τρία χέρια.
Το να αποδείξουμε την εικασία εδώ θα είναι αντίστοιχος άθλος με το να καταφέρει μια μαιμού να γράψει ένα έργο του σέξπηρ χτυπώντας στην τύχη πλήκτρα του πληκτρολογίου. Δεν αποκλείεται αλλά είναι εντελώς απίθανο.
Λογική αντίφαση.
Σωστά όλα τα υπόλοιπα. Αλλά ξέρεις τι συμβαίνει μερικές φορές με την επιστημή; Κάποιος, που είναι απέξω, τυχαίνει καμιά φορά να βλέπει καθαρότερα. Είναι αυτός, που ξεκινά το συλλογισμό από τελείως διαφορετική οπτική γωνία και εκ του μηδενός.
Πολύ σωστά όλα τα παραπάνω, ειδικά την επισήμανση του Pai Mei τη βιώνω σχετικά συχνά στη δουλειά μου (Μαθηματικός-Στατιστικός). Αξίζει να σημειωθεί ότι η συγκεκριμένη εικασία είναι από τα πρώτα προβλήματα με τα οποία καταπιάστηκαν οι (πρώτοι) υπολογιστές τη δεκαετία του 50. Έχει αποδειχθεί (αριθμητικά) ότι ισχύει για πολύ μεγάλο βάθος ακεραίων αλλά χρειάζεται θεωρητική απόδειξη για να δειχθεί για όλους τους ακέραιους. Η θεωρητική αυτή απόδειξη είναι πολύ πιθανό να μην μπορεί να κατασκευαστεί σύμφωνα και με το θεώρημα του Γκέντελ περί μη πληρότητας.
Στον χαρακτήρα του 'θείου Πέτρου' μπορείς να καταλογίσεις ένα βασικό σφάλμα: τον απομονωτισμό. Πολλοί μαθηματικοί την πατάνε έτσι δυστηχώς. Οι επιστημονικές συνεργασίες που αυτός απέφευγε συστηματικά δίνουν κίνητρο για να πας μπροστά και συχνά σε ξεμπλοκάρουν να έχεις κολλήσει κάπου. Με βάση τη δικιά μου εμπειρία μ αρέσει να λέω πως συχνά πως στις καλές συνεργασίες ένα κι ένα δεν κάνει δύο αλλά πολύ περισσότερο. Αναφέρομαι στο αποτέλεσμα της καλής συνεργασίας 2 ή και περισσότερων....
Φιλικά,
Γιάννης -
Έχεις απόλυτο δίκιο Γιάννη.
Και ως προς τον απομονωτισμό του θείου Πέτρου.
Απλά, ξέρεις τι γίνεται.
Μπαίνει στη μέση η επιστημονική ματαιοδοξία, η οποία είναι τροχοπέδη στις συνεργασίες.Αυτό, ήταν πράγματι το ατόπημα του Πέτρου. Και μία κάποια αλαζονεία.
Ενώ θα μπορούσε να δημοσιεύσει σημαντικές ενδιάμεσες κατακτήσεις, δεν το έκανε, προσηλωμένος απόλυτα στον αρχικό του στόχο... -
Σκέφτηκα ότι μπορούμε να αποδείξουμε ότι όλοι οι ζυγοί μπορούν να γραφούν ως άθροισμα πρώτων χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή σαν αυτή που κάνουν οι μαθητές της δευτέρας λυκείου (δεν την θυμάμαι ακριβώς την μέθοδο γι αυτό δεν την γράφω). Δεν θυμάμαι περισσότερες λεπτομέρειες και δεν ξέρω αν είναι σωστό αλλά μου ρθε σαν ιδέα. Κάποιος μαθηματικός να μας βοηθήσει?
-
Λίγο άσχετο αλλά δεν έχω που αλλού να το γράψω...
Κυκλοφορεί ένα βιβλιαράκι με το εξής θέμα :
1946 Πρίνστον.
Αϊστάιν, Φον Νόιμαν, Γκέντελ και Οπενχάιμερ συζητάνε για διάφορα...(μέχρι και Πλάτωνα ανακατεύουν )Οι πιο ψαγμένοι θα το έχουν ήδη υπόψη τους.
Μπορεί να το έχουν διαβάσει kai na το έχουν κρίνει τι αξίζει και αν αξίζει.
Για όποιον (μη ψαγμένο ) ενδιαφέρεται επειδή δεν ξέρω αν πρέπει να γράψω δημόσια , τίτλο , συγγραφέα και εκδοτικό οίκο , ας στείλει pmΖητώ συγγνώμη για το off-topic φίλε 'pai mei'
-
όταν λέω αποκλείεται εννοώ με πιθανότητα μηδέν. όταν λέω εντελώς απίθανο εννοώ με πιθανότητα πάρα πολύ κοντά στο μηδέν (οκ ίσως να μην είναι σωστή η διατύπωση - ίσως 'σχεδόν απίθανο' είναι πιο σωστή διατύπωση) αλλά αναφέρομαι στη διατύπωση του σερλοκ χολμς (when we have eliminated the impossible, whatever remains however improbable must be true)
μ αυτή τη λογική το να κερδίσεις το λαχείο δεν αποκλείεται αλλά είναι απίθανο.
-
Δυστιχώς, και σε αντίθεση με άλλες επιστήμες, στα μαθηματικά σχεδόν καμμία ανακάλυψη δεν έγινε από ερασιτέχνη. Δύο είναι οι γνωστές εξαιρέσεις:
- Ένα Γερμανός δάσκαλος που την δεκαετία του '50 απέδειξε ένα θεώρημα που ήταν άλυτο για σχεδόν έναν αιώνα, αλλά κανένας δεν τον πήρε στα σοβαρά. Μόλις το '80 αποδείχτηκε ότι η απόδειξή του ήταν σωστή από 'επαγγελματίες' μαθηματικούς.
- Μια Αμερικανίδα νοικοκυρά, που σε απάντηση ενός διαγωνισμού του Scientific American βρήκε 3 άγνωστους ως τότε τρόπους να καλυφθεί μια επιφάνεια από 'πλακάκια' (αυτό αποτελεί πολύ σοβαρό αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας).
Μαθηματικά: Η Εικασία του Γκόλντμπαχ κ άλλες ωραίες ιστορίες