Λοιπόν σας δίνω εγώ την απάντηση (την οποία βέβαι δεν έχω καταλάβει, ίσως εσείς όμως βγάλετε άκρη) και βάλτε κανα άλλο γιατί άρχισα να βλέπω και στον ύπνο μου Ζόνγκ!
Εκφώνηση:
Έστω ότι παίζετε σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι και μπροστά σας υπάρχουν τρεις κουρτίνες. Ο παρουσιαστής σας ενημερώνει ότι πίσω από μία από αυτές κρύβεται ένα αυτοκίνητο. Έστω ότι επιλέγεται την κουρτίνα Α. Ο παρουσιαστής ανοίγει την κουρτίνα Γ για να σας δείξει ότι το αυτοκίνητο δε βρίσκεται πίσω από αυτή. Μήπως πρέπει να αλλάξετε γνώμη και να επιλέξετε την κουρτίνα Β;
Λύση:
Έστω α,β και γ το γεγονός ότι το δώρο βρίσκεται πίσω από την κουρτίνα Α,Β και Γ αντίστοιχα. Είναι p(α)= p(β)= p(γ)=1/3.
Οι a priori πιθανότητες είναι αυτό που εμείς «πιστεύουμε» για το τι θα γίνει. Θεωρούμε ότι αν ποντάρουμε στο Α, ο παρουσιαστής δεν ανοίγει την Α ή την κουρτίναμε το αυτοκίνητο, αλλιώς δεν θα έχει ενδιαφέρον το παιχνίδι.
Θα υπολογίσουμε τις πιθανότητες p(x|ω), ποια κουρτίνα δηλαδή θα ανοίξει ο παρουσιαστής, αν εμείς ποντάρουμε στην Α:
• Αν ω=α, τότε οι Β και Γ είναι ζόνγκ, επομένως τις ανοίγει με ίδια πιθανότητα: p(x=Β/α)=p(x=Γ/α)=1/2
• Αν ω=β, τότε ανοίγει την Γ με p(x=Γ/β)=1 και την Β με p(x=Β/β)=0
• Αν ω=γ, τότε ανοίγει την Γ με p(x=Γ/γ)=0 και την Β με p(x=Β/γ)=1
Αρα για να ανοιχτεί η Γ η πιθανότητα είναι:
p(x=Γ/α)=1/2, p(x=Γ/β)=1 και με p(x=Γ/γ)=0.
Μετά το άνοιγμα θα πρέπει να ενημερώσουμε τις εκ των υστέρων πιθανότητες.
Προφανώς ισχύει p(α/x)+p(β/x)+p(γ/x)=1 (Εξίσωση 1)
Επομένως :
````````P(x=Γ/α) * p(α)````` 1/2*1/3
P(α/x)= ------------------------- = -------------
``````````````P(x)``````````p(x)
`````````P(x=Γ/β) * p(β)`````1 *1/3
P(β/x)= ------------------------- = -------------
``````````````P(x)``````````p(x)
`````````P(x=Γ/γ) * p(γ)`````0*1/3
P(γ/x)= ------------------------- = -------------
``````````````P(x)``````````p(x)
Προσθέτουμε τις 3 παραπάνω εξισώσεις και λόγω της εξίσωσης (1) καταλήγουμε στην :
p(x)=1/6+1/3 οπότε p(α/x) = 1/3, (β/x) = 2/3 και p(γ/x) = 0
Άρα τελικά, σύμφωνα με τον κανόνα του Bayes πρέπει να επιλεγεί η κατάσταση με την μεγαλύτερη posterior πιθανότητα, δηλαδή η Β!!!
Happy τώρα??????
Υγ. Αγνοείστε τα ``````` απλά δεν γινόταν να γράψω διαφορετικά τα κλάσματα