Μερικοί δουλεύουμε παράλληλα!

Λοιπόν, επειδή οι πληροφορίες μου λένε ότι συνέχεια αυτοκίνητα πέρνουμε και δεν περπατάμε καθόλου, πάμε Trecking.......
Ξεκινάμε λοιπόν αναβασούλα με τελικό προορισμό καταφύγιο στην κορυφή του βουνού. Ξεκινάμε πρωί συγκεκριμένη ώρα για να έχουμε τα πάνω μας (ας πούμε 07:00) και το απογευματάκι είμαστε στο καταφύγιο. Στην διάρκεια της ανάβασης κάνουμε κατά περιόδους ακανόνιστα διαλείματα για ξεκούραση (είπαμε, έχουμε πάρει κιλάκια). Περνάμε ένα φοβερό βράδυ και το επόμενο πρωί ξεκινάμε την ίδια πάλι ώρα (07:00) την κατάβαση, πάλι με τα γνωστά ακανόνιστα διαλειματάκια. Να σημειωθεί ότι ο ρυθμός ανάβασης και κατάβασης είναι διαφορετικός για ευνόητους λόγους (μας πήρανε τα κιλάκια στην κατηφόρα και δεν φοράμε και δεκαπίστονες....). Το ερώτημα είναι υπάρχει σημείο της διαδρομής από το οποίο περνάμε την ίδια ακριβώς ώρα; Υπάρχει και αυστηρά μαθηματική λύση, αλλά η πρακτική είναι κέντημα....

Ο χρήστης nass έγραψε:
Τέτοια έκαναν στο Μηχανικό και ένας φίλος μου που πήγε ήταν ενθουσιασμένος ?

Τέτοια και χειρότερα φίλε... Αμ' έπος αμ' έργον μηχανικό, εμείς θα γεφυρώσουμε τον Έβρο ποταμό.... Ξέφυγα λίγο....

Δε με λες... Ο συνολικός χρόνος ανάβασης και κατάβασης (παρά τον διαφορετικό ρυθμό) είναι ίδιος????

(Εγώ ψάχνω τη μαηθματική λύση πάντως )

Δε με λες... Ο συνολικός χρόνος ανάβασης και κατάβασης (παρά τον διαφορετικό ρυθμό) είναι ίδιος????

Για να σε πω την μαύρη αλήθεια, δεν μας λέει το πρόβλημα κάτι συγκεκριμένο γι'αυτό αλλά αφού τις δεκαπίστονες τις αφήσαμε σπίτι ο χρόνος κατάβασης είναι μάλλον μικρότερος....

Ο χρήστης slivi έγραψε:
Λοιπόν, επειδή οι πληροφορίες μου λένε ότι συνέχεια αυτοκίνητα πέρνουμε και δεν περπατάμε καθόλου, πάμε Trecking.......
Ξεκινάμε λοιπόν αναβασούλα με τελικό προορισμό καταφύγιο στην κορυφή του βουνού. Ξεκινάμε πρωί συγκεκριμένη ώρα για να έχουμε τα πάνω μας (ας πούμε 07:00) και το απογευματάκι είμαστε στο καταφύγιο. Στην διάρκεια της ανάβασης κάνουμε κατά περιόδους ακανόνιστα διαλείματα για ξεκούραση (είπαμε, έχουμε πάρει κιλάκια). Περνάμε ένα φοβερό βράδυ και το επόμενο πρωί ξεκινάμε την ίδια πάλι ώρα (07:00) την κατάβαση, πάλι με τα γνωστά ακανόνιστα διαλειματάκια. Να σημειωθεί ότι ο ρυθμός ανάβασης και κατάβασης είναι διαφορετικός για ευνόητους λόγους (μας πήρανε τα κιλάκια στην κατηφόρα και δεν φοράμε και δεκαπίστονες....). Το ερώτημα είναι υπάρχει σημείο της διαδρομής από το οποίο περνάμε την ίδια ακριβώς ώρα; Υπάρχει και αυστηρά μαθηματική λύση, αλλά η πρακτική είναι κέντημα....

Ακριβώς την ίδια άσκηση έχει το βιβλίο της Γ' Λυκείου Μαθηματικών Κατεύθυνσης, νομίζω στο κεφάλαιο που αναφέρει το θεώρημα Bolzano με το οποίο την είχα λύσει πέρισυ...

Τώρα όμως έχω σκουριάσει. Η απάντηση πάντως είναι ναι.

Ορίζουμε 2 συναρτήσεις, μια για την ανάβαση και μια για την κατάβαση (διαφορετικές μεταξύ τους). Η μία θα ξεκινάει από το Α και θα καταλήγει (με κάποιο, αδιάφορο, τρόπο) στο Β και η άλλη από το Β στο Α.

Ορίζουμε επίσης μια συνάρτηση ως τη διαφορά των 2 παραπάνω.

Σε κάποιο σημείο η διαφορά είναι αρνητική και σε κάποιο άλλο θετική άρα υπάρχει t για το οποίο η συνάρτηση μηδενίζεται (y=0). Άρα για ένα συγκερκιμένο χρόνο t οι 2 συναρτήσεις (οι προηγούμενες, ΟΧΙ η διαφορά τους) είναι ίσες...

Ουφ, κάπως έτσι...

Ο χρήστης slivi έγραψε:
Λοιπόν, επειδή οι πληροφορίες μου λένε ότι συνέχεια αυτοκίνητα πέρνουμε και δεν περπατάμε καθόλου, πάμε Trecking.......
Ξεκινάμε λοιπόν αναβασούλα με τελικό προορισμό καταφύγιο στην κορυφή του βουνού. Ξεκινάμε πρωί συγκεκριμένη ώρα για να έχουμε τα πάνω μας (ας πούμε 07:00) και το απογευματάκι είμαστε στο καταφύγιο. Στην διάρκεια της ανάβασης κάνουμε κατά περιόδους ακανόνιστα διαλείματα για ξεκούραση (είπαμε, έχουμε πάρει κιλάκια). Περνάμε ένα φοβερό βράδυ και το επόμενο πρωί ξεκινάμε την ίδια πάλι ώρα (07:00) την κατάβαση, πάλι με τα γνωστά ακανόνιστα διαλειματάκια. Να σημειωθεί ότι ο ρυθμός ανάβασης και κατάβασης είναι διαφορετικός για ευνόητους λόγους (μας πήρανε τα κιλάκια στην κατηφόρα και δεν φοράμε και δεκαπίστονες....). Το ερώτημα είναι υπάρχει σημείο της διαδρομής από το οποίο περνάμε την ίδια ακριβώς ώρα; Υπάρχει και αυστηρά μαθηματική λύση, αλλά η πρακτική είναι κέντημα....

υπάρχει πάντα.

αν η συνολική απόσταση που περπατάμε είναι S, μετρώντας από τους πρόποδες μέχρι την κορυφή, τότε το σημείο Α που ζητείται είναι το:

Α= (uαS) / (2uκ),

όπου uα η μέση ταχύτητα ανόδου και uκ η μέση ταχύτητα ανόδου.

αν οι δύο αυτές ταχύτητες είναι ίδιες, δηλαδή ανεβαίνουμε και κατεβαίνουμε με τον ίδιο συνολικά ρυθμό, τότε ο τύπος δίνει Α=S/2, δηλαδή το ζητούμενο σημείο είναι προφανώς στο μέσο της διαδρομής.

Ο χρήστης Krusenstern έγραψε:

Α= (uαS) / (2uκ),

όπου uα η μέση ταχύτητα ανόδου και uκ η μέση ταχύτητα ανόδου.

Θα ίσχυε αν ο ρυθμός ανόδου και ο αντίστοιχος καθόδου ήταν σταθεροί, αλλά έχουμε και τα ακανόνιστα διαλείματα που λέγαμε, οπότε με την μέση ταχύτητα δεν βγαίνει....

Tip η πρακτική λύση είναι τόσο απλή που θα τρελαθείς... Μην το παιδεύεις τόσο....

Υπάρχει και είναι στα μισά της διαδρομής αλλά δεν είμαι και σίγουρη...

Έστω ότι ξεκινάμε από το σημείο Α να πάμε στο Β.
Έστω ότι η συνολική απόσταση είναι Χ και έστω ότι υπάρχει ένα σημείο Γ που συναντιόμαστε την ίδια ώρα το οποίο απέχει από το Α απόσταση x...

Α______________Γ__________________Β

Για να φτάσουμε στι ίδιο σημείο την ίδια ώρα σημαίνει ότι ανεβαίνοντας κάναμε χρόνο t για να φτάσουμε από το Α στο σημείο Γ ενώ κατεβαίνοντας κάναμε πάλι χρόνο t για να φτάσουμε από το Β στο Γ....

Άρα x απόσταση σε χρόνο t
και X-x απόσταση σε χρόνο t
άρα x=X-x X=2x x=X/2 Σωστά;

Ο χρήστης A-Viper7 έγραψε:

Ακριβώς την ίδια άσκηση έχει το βιβλίο της Γ' Λυκείου Μαθηματικών Κατεύθυνσης, νομίζω στο κεφάλαιο που αναφέρει το θεώρημα Bolzano με το οποίο την είχα λύσει πέρισυ...

Τώρα όμως έχω σκουριάσει. Η απάντηση πάντως είναι ναι.

Ορίζουμε 2 συναρτήσεις, μια για την ανάβαση και μια για την κατάβαση (διαφορετικές μεταξύ τους). Η μία θα ξεκινάει από το Α και θα καταλήγει (με κάποιο, αδιάφορο, τρόπο) στο Β και η άλλη από το Β στο Α.

Ορίζουμε επίσης μια συνάρτηση ως τη διαφορά των 2 παραπάνω.

Σε κάποιο σημείο η διαφορά είναι αρνητική και σε κάποιο άλλο θετική άρα υπάρχει t για το οποίο η συνάρτηση μηδενίζεται (y=0). Άρα για ένα συγκερκιμένο χρόνο t οι 2 συναρτήσεις (οι προηγούμενες, ΟΧΙ η διαφορά τους) είναι ίσες...

Ουφ, κάπως έτσι...

Yeap... αυτή είναι η μαθηματική λύση... ο επόμενος δικός σου.... Υπάρχει και η πρακτική που έχει την βάση της πάλι στο ίδιο σκεπτικό :
Το πρόβλημα στην ουσία ανάγεται στο να ξεκινήσουν την ίδια μέρα και ώρα δύο ομάδες, η μία από τους πρόποδες και η άλλη από το καταφύγιο. Στην πορεία θα συναντηθούν σίγουρα σε κάποιο σημείο... Είναι το ζητούμενο...

Με λίγο 'μπακαλίστικα' μαθηματικά φίλε Viper, το πρόβλημα λύνεται ως εξής:

Η συνάρτηση του ύψους h1(t) κατά την άνοδο στο βουνό, είναι συνεχής και γνησίως άυξουσα. Η συνάρτηση του ύψους h2(t) κατά την κάθοδο από το βουνό, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν το ίδιο πεδίο τιμών (ελάχιστο=πρόποδες, μέγιστο=κορυφή) και μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουν και το ίδιο πεδίο ορισμού, δηλαδή από τις 7 η ώρα το ένα πρωί έως maximum τις 7 η ώρα το άλλο πρωί.

οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται ΑΚΡΙΒΩΣ σε ένα σημείο, που είναι και το σημείο που ζητάμε.

Ο χρήστης Krusenstern έγραψε:
Με λίγο 'μπακαλίστικα' μαθηματικά φίλε Viper, το πρόβλημα λύνεται ως εξής:

Η συνάρτηση του ύψους h1(t) κατά την άνοδο στο βουνό, είναι συνεχής και γνησίως άυξουσα. Η συνάρτηση του ύψους h2(t) κατά την κάθοδο από το βουνό, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν το ίδιο πεδίο τιμών (ελάχιστο=πρόποδες, μέγιστο=κορυφή) και μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουν και το ίδιο πεδίο ορισμού, δηλαδή από τις 7 η ώρα το ένα πρωί έως maximum τις 7 η ώρα το άλλο πρωί.

οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται ΑΚΡΙΒΩΣ σε ένα σημείο, που είναι και το σημείο που ζητάμε.

!!!! Impressed....

Ο χρήστης Krusenstern έγραψε:
οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται ΑΚΡΙΒΩΣ σε ένα σημείο, που είναι και το σημείο που ζητάμε.

Λάθος. Θα τέμνονται σε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα σημείο. Μπορεί όμως να είναι και περισσότερα.

Ο χρήστης slivi έγραψε:
Yeap... αυτή είναι η μαθηματική λύση... ο επόμενος δικός σου.... Υπάρχει και η πρακτική που έχει την βάση της πάλι στο ίδιο σκεπτικό :
Το πρόβλημα στην ουσία ανάγεται στο να ξεκινήσουν την ίδια μέρα και ώρα δύο ομάδες, η μία από τους πρόποδες και η άλλη από το καταφύγιο. Στην πορεία θα συναντηθούν σίγουρα σε κάποιο σημείο... Είναι το ζητούμενο...

Επειδή δεν μου έρχεται κάποιος, αν θέλει μπορεί ο Krusenstern να βάλει δικό του...

Ο χρήστης A-Viper7 έγραψε:

οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται ΑΚΡΙΒΩΣ σε ένα σημείο, που είναι και το σημείο που ζητάμε.

Λάθος. Θα τέμνονται σε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα σημείο. Μπορεί όμως να είναι και περισσότερα.

Όχι γιατί είναι ΓΝΗΣΙΩΣ μονότονες...
Anyway, εγώ την πρακτική νόμιζα ότι θα βρίσκατε....

Ο χρήστης A-Viper7 έγραψε:

οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται ΑΚΡΙΒΩΣ σε ένα σημείο, που είναι και το σημείο που ζητάμε.

Λάθος. Θα τέμνονται σε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα σημείο. Μπορεί όμως να είναι και περισσότερα.

ΛΑΘΟΣ!

είπα ΣΥΝΕΧΕΙΣ και ΓΝΗΣΙΩΣ μονότονες και οι δύο, στο ίδιο πεδίο ορισμού. Το σημείο τομής μπορεί να είναι ΜΟΝΟ ένα!

Ο χρήστης Krusenstern έγραψε:

οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται ΑΚΡΙΒΩΣ σε ένα σημείο, που είναι και το σημείο που ζητάμε.

Λάθος. Θα τέμνονται σε ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα σημείο. Μπορεί όμως να είναι και περισσότερα.

ΛΑΘΟΣ!

είπα ΣΥΝΕΧΕΙΣ και ΓΝΗΣΙΩΣ μονότονες και οι δύο, στο ίδιο πεδίο ορισμού. Το σημείο τομής μπορεί να είναι ΜΟΝΟ ένα!

Εφόσον υπάρχουν τα διαλλείματα δεν γίνεται να είναι γνησίως μονότονες. Απλά μονότονες.

Ο χρήστης A-Viper7 έγραψε:

Εφόσον υπάρχουν τα διαλλείματα δεν γίνεται να είναι γνησίως μονότονες. Απλά μονότονες.

Σωστός...

λάθος παραδοχή

last but not least, Ο γρίφος του Einstein:

Υπάρχουν 5 σπίτια διαφορετικών χρωμάτων στη σειρά. Σε κάθε σπίτι ζει μόνο ένας άνθρωπος, ο ιδιοκτήτης. Οι 5 ιδιοκτήτες είναι διαφορετικής εθνικότητας και ο καθένας πίνει ένα συγκεκριμένο ποτό, καπνίζει μια συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων και έχει ένα συγκεκριμένο κατοικίδιο ζώο που συντηρεί. Όλοι έχουν μεταξύ τους διαφορετικά κατοικίδια, καπνίζουν διαφορετικές μάρκες τσιγάρων και πίνουν διαφορετικά είδη ποτών.

Στοιχεία:
· Ο Άγγλος μένει στο κόκκινο σπίτι
· Ο Σουηδός έχει ένα σκύλο.
· Ο Δανός πίνει τσάι.
· Το πράσινο σπίτι είναι το επόμενο προς τ’ αριστερά από το άσπρο σπίτι.
· Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.
· Αυτός που καπνίζει Pall Mall συντηρεί ένα πουλί.
· Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.
· Αυτός που μένει στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
· Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι.
· Αυτός που καπνίζει Blends μένει δίπλα σ’ αυτόν που έχει μία γάτα.
· Αυτός που έχει άλογο μένει δίπλα σ’ αυτόν που καπνίζει Dunhill.
· Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Bleumasters πίνει μπύρα.
· Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
· Ο Νορβηγός μένει δίπλα στο μπλε σπίτι.
· Αυτός που καπνίζει Blends έχει γείτονα που πίνει νερό.

Η ερώτηση είναι: “Ποιος έχει το ψάρι;”

***Ο Αϊνστάιν υποστήριξε ότι το 98% των ανθρώπων δεν θα μπορούσαν να λύσουν το γρίφο χωρίς μολύβι και χαρτί. Παρακαλούνται όσοι γνωρίζουν την απάντηση, όσοι το ψάξουν στο google και όσοι έχουν σκονάκια ( ) ναι ΜΗΝ απαντήσουν. Η απάντηση θα πρέπει να είναι τεκμηριωμένη ***